Треугольники: понять, различать и решать задачи

Тимофей, начнём с понятного

Треугольники проще понять, если двигаться небольшими шагами: узнать вид треугольника → выбрать свойство → составить равенство → проверить ответ.

Ты научишься различать треугольники, находить неизвестные углы и стороны и объяснять решение с помощью свойств. Начнём с основных понятий, а затем перейдём к задачам посложнее.

Как заниматься: первые 15 минут — виды и свойства, следующие 15 — разобранные задачи, затем перерыв и самостоятельная работа. Не спеши проходить всё за один раз. Приготовь бумагу, карандаш, линейку и транспортир.

1. Язык задачи: русский и srpski

Сербские термины даны латиницей — так их удобно узнавать в школьных заданиях.

• Треугольник — trougao; вершина — teme; сторона — stranica; угол — ugao.
• Внутренний угол — unutrašnji ugao; внешний угол — spoljašnji ugao.
• Основание — osnovica; боковая сторона равнобедренного треугольника — krak.
• Периметр — obim; высота — visina.
• Медиана — težišna duž; биссектриса угла — simetrala ugla.
• Равные стороны — jednake stranice; углы при основании — uglovi na osnovici.
• «Вычисли» — izračunaj; «определи» — odredi; «dokaži» — dokaži.

У треугольника $ABC$ стороны — $AB$, $BC$, $CA$. Угол $\angle ABC$ находится в вершине B: нужная буква стоит посередине. Обозначения $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ читаются «альфа», «бета», «гамма».

2. Две независимые классификации

Один вопрос — какие длины сторон? Другой — какие величины углов? У треугольника есть ответ на оба вопроса. Например, он может быть одновременно равнобедренным и прямоугольным.

По сторонам — prema stranicama

• Разносторонний — raznostranični trougao: все три стороны имеют разные длины. Пример: 4, 5 и 6 см.
• Равнобедренный — jednakokraki trougao: две стороны равны. Пример: $AB=AC=5$ см, $BC=6$ см. Равные стороны $AB$ и $AC$ — боковые, $BC$ — основание, $A$ — вершина напротив основания.
• Равносторонний — jednakostranični trougao: все три стороны равны. Все его углы равны $60^\circ$.

Равносторонний треугольник удовлетворяет и свойству «есть две равные стороны», но в школьной классификации для него обычно выбирают более точное название — равносторонний.

По углам — prema uglovima

• Остроугольный — oštrougli trougao: каждый угол меньше $90^\circ$. Например: $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$.
• Прямоугольный — pravougli trougao: один угол равен $90^\circ$. Например: $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$.
• Тупоугольный — tupougli trougao: один угол больше $90^\circ$. Например: $30^\circ$, $40^\circ$, $110^\circ$.

Почему нельзя иметь два прямых или два тупых угла? Сумма уже будет не меньше $180^\circ$, и для третьего положительного угла места не останется.

Не определяй вид только «на глаз». На чертеже ищи числа, одинаковые штрихи на равных сторонах и значок прямого угла. Рисунок может быть неточным.

Нарисуй и подпиши

Нарисуй треугольник $ABC$, где $AB=AC$, а вершина $A$ сверху. Отметь равные стороны одинаковыми штрихами. Подпиши kraci у $AB$ и $AC$, osnovica у $BC$. Обведи углы при основании — это $\angle ABC$ и $\angle BCA$, а не угол $A$.

Шаг 1. Узнаю виды треугольников

1. Стороны треугольника равны 5, 5 и 8 см. Как он называется по сторонам?

Разносторонний — raznostranični Равнобедренный — jednakokraki Равносторонний — jednakostranični

2. Углы равны 25°, 45° и 110°. Какой это треугольник по углам?

Остроугольный — oštrougli Прямоугольный — pravougli Тупоугольный — tupougli

3. Может ли треугольник быть одновременно равнобедренным и прямоугольным?

Да, его углы 45°, 45°, 90° Нет, это взаимоисключающие виды Да, его углы 60°, 60°, 60°

Проверить Сбросить

3. Свойства, на которые опирается решение

Сумма углов — zbir uglova

В любом треугольнике:

$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ.$$

Если известны два угла, третий равен $180^\circ$ минус их сумма. Например: $180^\circ-48^\circ-72^\circ=60^\circ$.

Попробуй объяснить руками: нарисуй треугольник на бумаге, вырежи его и оторви три уголка. Сложи их вершинами в одну точку рядом друг с другом: они образуют развёрнутый угол. Это наглядная проверка, а в задачах мы используем само свойство.

Равнобедренный треугольник — jednakokraki trougao

Если $AB=AC$, то:

1. Углы при основании равны: $\angle B=\angle C$.
2. Верно и обратное: если $\angle B=\angle C$, то $AB=AC$. Равные стороны лежат напротив равных углов.
3. Отрезок из вершины $A$ к середине основания $BC$ одновременно является медианой, высотой и биссектрисой: делит основание пополам, образует с ним угол $90^\circ$ и делит угол $A$ пополам.

Последнее свойство относится именно к отрезку из вершины между равными сторонами к основанию. Нельзя автоматически применять его к любой линии внутри треугольника.

Если угол при вершине равен $\alpha$, каждый угол при основании равен:

$$\beta=\gamma=\frac{180^\circ-\alpha}{2}.$$

Если дан угол при основании $\beta$, то угол при вершине $\alpha=180^\circ-2\beta$.

Прямоугольный треугольник — pravougli trougao

• Две стороны, образующие прямой угол, — катеты, katete.
• Сторона напротив прямого угла — гипотенуза, hipotenuza. Она самая длинная.
• Два острых угла в сумме дают $90^\circ$. Если один равен $34^\circ$, второй равен $56^\circ$.
• Если катеты равны, треугольник ещё и равнобедренный, а острые углы равны $45^\circ$.

Полезное дополнительное свойство: катет напротив угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы. Например, при гипотенузе 14 см этот катет равен 7 см. Не путай его с катетом, прилежащим к углу $30^\circ$.

Здесь задачи на прямоугольный треугольник решаются без теоремы Пифагора.

Ещё два инструмента

Внешний угол. Продли сторону $BC$ за точку $C$ до точки $D$. Внешний угол $\angle ACD$ и внутренний $\angle ACB$ вместе дают $180^\circ$. Поэтому внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$$\angle ACD=\angle A+\angle B.$$

Неравенство треугольника — nejednakost trougla. Сумма любых двух сторон должна быть строго больше третьей. Для проверки достаточно сравнить сумму двух меньших сторон с наибольшей. Из 2, 3 и 5 см треугольник не получится: $2+3=5$, это вырожденная фигура, а не треугольник.

4. Как оформлять решение

1. Дано: выпиши числа и равенства из условия.
2. Найти: обозначь искомую величину, например $x$.
3. Чертёж: подпиши вершины, равные стороны и известные углы.
4. Свойство: скажи словами, почему величины равны или какую сумму дают.
5. Вычисление: составь равенство и реши его.
6. Проверка и ответ: сумма углов $180^\circ$? Углы положительные? Есть единицы измерения?

5. Разобранные задачи: от одного шага к нескольким

Задача 1. Известен угол при вершине

Условие: $AB=AC$, $\angle A=40^\circ$. Найди остальные углы и назови вид треугольника по углам.

Решение: $BC$ — основание. Углы $B$ и $C$ равны, потому что треугольник равнобедренный. На них вместе приходится $180^\circ-40^\circ=140^\circ$. Поэтому каждый равен $140^\circ:2=70^\circ$.

Ответ: $40^\circ$, $70^\circ$, $70^\circ$; треугольник остроугольный. Проверка: $40+70+70=180$.

Задача 2. Свойство и периметр

Условие: периметр равнобедренного треугольника 32 см, основание 12 см. Найди боковые стороны.

Решение: обозначим каждую равную боковую сторону через $x$ см. Периметр — сумма трёх сторон:

$$x+x+12=32,\qquad 2x=20,\qquad x=10.$$

Проверка существования: $10+10>12$. Ответ: 10 см и 10 см.

Задача 3. Почему одного числа иногда недостаточно

Условие: один из углов равнобедренного треугольника равен $40^\circ$. Найди остальные.

Не сказано, какой именно угол дан. Рассматриваем два случая:

• Если $40^\circ$ — угол при вершине, остальные углы $70^\circ$ и $70^\circ$.
• Если $40^\circ$ — угол при основании, второй угол при основании тоже $40^\circ$, а угол при вершине $180^\circ-80^\circ=100^\circ$.

Ответ: два возможных набора: $(40^\circ,70^\circ,70^\circ)$ и $(40^\circ,40^\circ,100^\circ)$. Не выбирай один случай только потому, что так выглядит рисунок.

Задача 4. Внешний угол и равнобедренность

Условие: $AB=AC$. Сторону $BC$ продлили за $C$ до $D$, внешний угол $ACD$ равен $116^\circ$. Найди все внутренние углы.

Решение: внутренний угол $C$ равен $180^\circ-116^\circ=64^\circ$. Тогда $B=64^\circ$ — это углы при основании. Угол $A=180^\circ-64^\circ-64^\circ=52^\circ$.

Проверка: внешний угол $116^\circ=52^\circ+64^\circ$. Ответ: $52^\circ$, $64^\circ$, $64^\circ$.

Задача 5. Дополнительный отрезок делает задачу проще

Условие: $AB=AC$, угол $A$ равен $36^\circ$. Точка $M$ — середина $BC$. Найди углы треугольника $ABM$.

Решение: проведи $AM$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию — также высота и биссектриса. Значит, $\angle AMB=90^\circ$, а $\angle BAM=36^\circ:2=18^\circ$. Третий угол $\angle ABM=180^\circ-90^\circ-18^\circ=72^\circ$.

Ответ: $18^\circ$, $72^\circ$, $90^\circ$. Мы перешли от равнобедренного треугольника к прямоугольному и применили свойства обоих.

Задача 6. Сложнее: два треугольника на одном рисунке

Условие: в треугольнике $ABC$ стороны $AB=AC$, угол $A=40^\circ$. Точка $D$ лежит на стороне $AC$, причём $BD=BC$. Найди $\angle ABD$.

Как построить схему: сначала нарисуй $ABC$ с вершиной $A$ сверху и основанием $BC$ снизу. Отметь $D$ на отрезке $AC$ и соедини $B$ с $D$. Отдельными одинаковыми штрихами отметь $BD=BC$.

1. В большом треугольнике $ABC$ углы при основании: $B=C=(180^\circ-40^\circ):2=70^\circ$.
2. В маленьком треугольнике $BCD$ равны стороны $BD$ и $BC$. Его основание — DC, а равные углы находятся в вершинах D и C.
3. Так как $D$ лежит на $AC$, угол $BCD$ совпадает с углом $BCA$ и равен $70^\circ$. Значит, $BDC=70^\circ$.
4. Угол $DBC=180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ$.
5. Отрезок $BD$ делит угол $ABC$ на два: $\angle ABD=70^\circ-40^\circ=30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$. Главное — каждый раз заново определять основание того треугольника, который сейчас рассматриваешь.

6. Попробуй сам — сначала без ответов

Для каждой задачи сделай чертёж и запиши хотя бы одно свойство, которое используешь.

1. Углы треугольника равны $48^\circ$ и $67^\circ$. Найди третий и классифицируй треугольник по углам.
2. $AB=AC$, угол $B=38^\circ$. Найди $A$ и $C$. Назови вид по углам.
3. В прямоугольном треугольнике один острый угол на $18^\circ$ больше другого. Найди оба.
4. Периметр равнобедренного треугольника 38 см. Каждая боковая сторона на 4 см больше основания. Найди стороны.
5. Один из углов равнобедренного треугольника равен $100^\circ$. Найди остальные. Объясни, почему здесь нет двух вариантов.
6. Задание на сербском: „U jednakokrakom trouglu ABC osnovica je BC. Spoljašnji ugao kod temena B iznosi 125°. Izračunaj unutrašnje uglove trougla.“ Сначала переведи условие, затем реши.
7. Со звёздочкой: $AB=AC$, угол $A=32^\circ$. Точка $D$ лежит на $AC$, $BD=BC$. Найди $\angle ABD$.

Открыть ответы и ход решения после своей попытки

1. Третий угол: $180^\circ-48^\circ-67^\circ=65^\circ$. Все углы острые — остроугольный.
2. $C=B=38^\circ$, $A=180^\circ-76^\circ=104^\circ$. Тупоугольный.
3. Меньший угол $x$, больший $x+18^\circ$. Получаем $2x+18^\circ=90^\circ$, поэтому углы $36^\circ$ и $54^\circ$.
4. Основание $x$ см, боковые стороны по $x+4$ см. $x+2(x+4)=38$, откуда $3x=30$, $x=10$. Стороны: 10, 14, 14 см. Проверка: $10+14>14$, периметр 38 см.
5. Угол $100^\circ$ не может быть при основании: два таких угла дали бы $200^\circ$. Это угол при вершине, остальные по $40^\circ$.
6. Перевод: «В равнобедренном треугольнике ABC основание BC. Внешний угол при вершине B равен 125°. Вычисли внутренние углы треугольника». $B=180^\circ-125^\circ=55^\circ$, $C=55^\circ$, $A=70^\circ$.
7. В $ABC$: $B=C=74^\circ$. В $BCD$: $BDC=BCD=74^\circ$, поэтому $DBC=32^\circ$. Искомый угол $ABD=74^\circ-32^\circ=42^\circ$.

7. Короткая самопроверка

Здесь важен не случайно выбранный ответ, а объяснение. Если ошибся, найди нужное свойство выше, реши на бумаге и проверь ещё раз.

Проверка: могу применить свойства

1. AB = AC, угол A = 76°. Чему равен угол B?

76° 52° 104°

2. В прямоугольном треугольнике угол A = 90°. Какая сторона — гипотенуза?

AB AC BC

3. Один острый угол прямоугольного треугольника равен 27°. Найди другой.

63° 73° 153°

4. Могут ли 3, 4 и 8 см быть длинами сторон треугольника?

Да, он разносторонний Нет, 3 + 4 < 8 Да, он тупоугольный

5. AB = AC, M — середина BC, угол A = 50°. Чему равен угол BAM?

50° 90° 25°

6. В прямоугольном треугольнике гипотенуза 18 см. Чему равен катет напротив угла 30°?

9 см 18 см 36 см

Проверить Сбросить

8. Что повторить завтра

Без подсказок расскажи по-русски и назови ключевые термины по-сербски:

• Какие есть три вида треугольников по сторонам и три по углам?
• Где у равнобедренного треугольника основание и какие углы равны?
• Почему два острых угла прямоугольного треугольника дают $90^\circ$?
• Чем гипотенуза отличается от катета?
• Когда нужно рассматривать два случая?

Затем заново реши задачи 3, 6 и 7 из самостоятельной работы. Тема понятна, когда ты можешь не только получить ответ, но и объяснить каждый шаг.